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有效數字及運算規則

放大字體  縮小字體 發布日期:2010-09-01  瀏覽次數:18016
核心提示:一、 有效數字為了取得準確的分析結果,不僅要準確測量,而且還要正確記錄與計算。所謂正確記錄是指記錄數字的位數。因為數字
一、 有效數字

為了取得準確的分析結果,不僅要準確測量,而且還要正確記錄與計算。所謂正確記錄是指記錄數字的位數。因為數字的位數不僅表示數字的大小,也反映測量的準確程度。所謂有效數字,就是實際能測得的數字。

有效數字保留的位數,應根據分析方法與儀器的準確度來決定,一般使測得的數值中只有最后一位是可疑的。例如在分析天平上稱取試樣0.5000g,這不僅表明試樣的質量0.5000g,還表明稱量的誤差在±0.0002g以內。如將其質量記錄成0.50g,則表明該試樣是在臺稱上稱量的,其稱量誤差為0.02g,故記錄數據的位數不能任意增加或減少。如在上例中,在分析天平上,測得稱量瓶的重量為10.4320g,這個記錄說明有6位有效數字,最后一位是可疑的。因為分析天平只能稱準到0.0002g,即稱量瓶的實際重量應為10.4320±0.0002g,無論計量儀器如何精密,其最后一位數總是估計出來的。因此所謂有效數字就是保留末一位不準確數字,其余數字均為準確數字。同時從上面的例子也可以看出有效數字是和儀器的準確程度有關,即有效數字不僅表明數量的大小而且也反映測量的準確度.

二、有效數字中"0"的意義

0"在有效數字中有兩種意義:一種是作為數字定值,另一種是有效數字.例如在分析天平上稱量物質,得到如下質量:

物質

稱量瓶

Na2CO

H2C2O4·2H2O

稱量紙

質量(g)

10.1430

.1045

0.2104

0.0120

有效數字位數

6位

5

4

3

 以上數據中“0”所起的作用是不同的。在10.1430中兩個“0”都是有效數字,所以它有6位有效數字。在2.1045中的“0”也是有效數字,所以它有5位有效數字。在0.2104中,小數前面的“0”是定值用的,不是有效數字,而在數據中的“0”是有效數字,所以它有4位有效數字。在0.0120中,“1”前面的兩個“0”都是定值用的,而在末尾的“0”是有效數字,所以它有3位有效數字。

綜上所述,數字中間的“0”和末尾的“0”都是有效數字,而數字前面所有的“0”只起定值作用。以“0”結尾的正整數,有效數字的位數不確定。例如4500這個數,就不會確定是幾位有效數字,可能為2位或3位,也可能是4位。遇到這種情況,應根據實際有效數字書寫成:

      4.5×103                       2位有效數字

        4.50×103                        3 位有效數字

       4.500×103                       4 位有效數字

因此很大或很小的數,常用10的乘方表示。當有效數字確定后,在書寫時一般只保留一位可疑數字,多余數字按數字修約規則處理。

對于滴定管、移液管和吸量管,它們都能準確測量溶液體積到0.01mL。所以當用50mL滴定管測定溶液體積時,如測量體積大于10mL小于50mL時,應記錄為4位有效數字。例如寫成24.22;如測定體積小于10mL,應記錄3位有效數字,例如寫成8.13 mL。當用25mL移液管移取溶液時,應記錄為25.00mL;當用5mL吸取關系取溶液時,應記錄為5.00mL。當用250mL容量瓶配制溶液時,所配溶液體積應即為250.0mL。當用50mL容量瓶配制溶液時,應記錄為50.00mL。

    總而言之,測量結果所記錄的數字,應與所用儀器測量的準確度相適應。

三、數字修約規則

我國科學技術委員會正式頒布的《數字修約規則》,通常稱為“四舍六入五成雙”法則。四舍六入五考慮,即當尾數≤4時舍去,尾數為6時進位。當尾數4舍為5時,則應是末位數是奇數還是偶數,5前為偶數應將5舍去,5前為奇數應將5進位。

這一法則的具體運用如下:

a. 28.17528.165處理成4位有效數字,則分別為28.1828.16。

b. 若被舍棄的第一位數字大于5,則其前一位數字加1,例如28.2645處理成3為有效數字時,其被舍去的第一位數字為6,大于5,則有效數字應為28.3。

c. 若被舍其的第一位數字等于5,而其后數字全部為零時,則是被保留末位數字為奇數或偶數(零視為偶),而定進或舍,末位數是奇數時進1,末位數為偶數時還進1,例如28.350、28.250、28.050處理成3位有效數字時,分別為28.4、28.2、28.0。

d. 若被舍棄的第一位數字為5,而其后的數字并非全部為零時,則進1,例如28.2501,只取3位有效數字時,成為28.3。

e. 若被舍棄的數字包括幾位數字時,不得對該數字進行連續修約,而應根據以上各條作一次處理。如2.154546 ,只取3位有效數字時,應為2.15,二不得按下法連續修約為2.16

2.1545462.154552.15462.1552.16

四、有效數字運算規則

前面曾根據儀器的準確度介紹了有效數字的意義和記錄原則,在分析計算中,有效數字的保留更為重要,下面僅就加減法和乘除法的運算規則加以討論。

a. 加減法:在加減法運算中,保留有效數字的以小數點后位數最小的為準,即以絕對誤差最大的為準,例如:

0.0121+25.64+1.05782=?

正確計算                     不正確計算

0.01                              0.0121  

25.64                              25.64

+    1.06                        +      1.05782

    ———————                      ———————    

          26.71                              26.70992              

上例相加3個數字中,25.64中的“4”已是可疑數字,因此最后結果有效數字的保留應以此數為準,即保留有效數字的位數到小數點后面第二位。

b. 乘除法:乘除運算中,保留有效數字的位數以位數最少的數為準,即以相對位數最大的為準。例如:

0.012×25.64×1.05782=?

以上3個數的乘積應為:

0.0121×25.6×1.01=0.328

在這個計算中3個數的相對誤差分別為:

        E%=(±0.0001)/0.0121×100=±8

        E%=(±0.01)/25.64×100=±0.04

        E%=(±0.00001/1.05782×100=±0.0009

顯然第一個數的相對誤差最大(有效數字為3位),應以它為準,將其他數字根據有效數字修約原則,保留3位有效數字,然后相乘即可。

c. 自然數,在分析化學中,有時會遇到一些倍數和分數的關系,如:

        H3PO4的相對分子量/3=98.00/3=32.67

水的相對分子量=2×1.008+16.00=18.02

在這里分母“3”和“2×1.008”中的“2”都還能看作是一位有效數字。因為它們是非測量所得到的數,是自然數,其有效數字位數可視為無限的。

在常見的常量分析中,一般是保留四位有效數字。但在水質分析中,有時只要求保留2位或3位有效數字,應視具體要求而定。

編輯:foodyy

 
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